ITストラテジスト 2015年午前2 問05

問題文

IT投資案件Xの5年間の投資効果をNPVで評価する場合の算出式はどれか。

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選択肢

ア：

- 200 + \frac{100}{0.025} + \frac{90}{0.02 5 ^{2}} + \frac{80}{0.02 5 ^{3}} + \frac{60}{0.02 5 ^{4}} + \frac{50}{0.02 5 ^{5}}

イ：

- 200 + \frac{100}{0.02 5 ^{5}} + \frac{90}{0.02 5 ^{4}} + \frac{80}{0.02 5 ^{3}} + \frac{60}{0.02 5 ^{2}} + \frac{50}{0.025}

ウ：

- 200 + \frac{100}{1.025} + \frac{90}{1.02 5 ^{2}} + \frac{80}{1.02 5 ^{3}} + \frac{60}{1.02 5 ^{4}} + \frac{50}{1.02 5 ^{5}}

（正解）

エ：

- 200 + \frac{100}{1.02 5 ^{5}} + \frac{90}{1.02 5 ^{4}} + \frac{80}{1.02 5 ^{3}} + \frac{60}{1.02 5 ^{2}} + \frac{50}{1.025}

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NPVの割引現在価値【午前2解説】

正解の理由

IT投資案件のNPVは、初期投資（時点0の支出）は割引しないでそのままマイナスとして扱い、以降の各年のキャッシュインは年数に応じて割引因子

1/ (1 + r)^{t}

で現在価値に直して合算します。したがって、割引率

r = 0.025

を用いる正しい式は

- 200 + \frac{100}{1.025} + \frac{90}{1.02 5 ^{2}} + \frac{80}{1.02 5 ^{3}} + \frac{60}{1.02 5 ^{4}} + \frac{50}{1.02 5 ^{5}},

となり、これが該当する選択肢はウです。分母が

1 + r

のべき乗である点、各キャッシュフローの年数に対応したべき乗が正しく当てられている点が理由です。

解法ステップ

キャッシュフローを整理する：時点0でアウトフロー200、時点1〜5でインフロー100,90,80,60,50。
割引率を確認する： $r = 0.025$ （年率2.5%）。
一般式を適用する： $NPV = - C_{0} + t = 1 \sum T \frac{C _{t}}{( 1 + r ) ^{t}}$ ここで $C_{0} = 200$ 、 $C_{1} = 100$ など。
各年の分母は $(1 + 0.025)^{t}$ とし、時点0の支出はそのまま差し引く。
これと選択肢を照合して、式が一致するものを選ぶ（ウ）。

選択肢別の誤答解説

ア:
- 分母が $0.025$ のべき乗になっているため、割引因子の形が誤っています。現在価値を求める際の分母は「 $1 + r$ のべき乗」であるべきで、 $r$ 自身のべき乗ではありません。 $0.02 5^{t}$ を使うと極めて小さな分母になり、現在価値が不適切に大きく算出されます。
イ:
- 誤りは二重です。(1) 分母が $0.025$ のべき乗になっている点（ $r$ を直接使っている点）が誤りです。正しくは $(1.025)^{t}$ を用います。(2) 年数と累乗の対応が逆になっています。例えば時点1の100に対して $0.02 5^{5}$ を使っており、年次（t）とべき乗が逆になっているため、各キャッシュフローが本来の年数と異なる割引を受けています。以上の二点で式が成立しません。
ウ:
- 各年のキャッシュフローを $1.02 5^{t}$ で割る形になっており、時点0の初期投資をそのまま差し引く点も含め正しいNPV式です。したがって正解です。
エ:
- 分母に $1.025$ を用いている点は正しいものの、年数と累乗の対応が逆になっています（時点1の100を $1.02 5^{5}$ で割るなど）。従って各キャッシュフローが誤った年数で割り引かれています。

よくある誤解

「割引率 r をそのまま分母に使う」：割引因子は $1/ (1 + r)^{t}$ の形です。 $r^{t}$ や $r$ を直接分母に使うのは誤り（ $0.025$ は成長因子ではない）。
「累乗の順序を逆にする」：年数 t に対応するべき乗はキャッシュフロー発生年に一致させる必要があります。初年度は ^1、2年目は ^2 と対応させること。
「時点0の支出も割引する」：時点0の金額は既に現在価値なので割引しない（そのままマイナスで扱う）。

補足コラム

電卓や表計算ソフトでの計算ポイント：
- Excel の NPV 関数は最初の引数で割引率を取り、引数に渡すのは「時点1以降」のキャッシュフローです。初期投資（時点0）は別途加減する必要があります。例： =NPV(0.025,100,90,80,60,50) - 200
- Python で簡単に計算する例：
```
rates = 0.025
flows = [-200, 100, 90, 80, 60, 50]
npv = sum(flows[t] / (1+rates)**t for t in range(len(flows)))
print(npv)
```
割引の考え方は将来価値を現在価値に変換する操作で、年率 r が小数で与えられている場合は常に $1 + r$ ベースで扱う習慣を身につけるとミスが減ります。

FAQ

Q1. なぜ分母は

1 + r

のべき乗なのですか？
A1. 将来の1単位の価値が現在いくらに相当するかは、年率 r で逆に成長を戻す操作が必要で、その逆成長係数が

1/ (1 + r)^{t}

になるためです。

Q2. 初期投資を割引しない理由は？
A2. 初期投資は時点0（現在）で発生しているため、既に現在価値で表されています。したがって追加の割引は不要です。

Q3. 割引率が連続複利の場合はどうする？
A3. 連続複利なら割引因子は

e^{- r t}

を使いますが、通常の年次評価（問題文のような年率）は

(1 + r)^{- t}

を用います。

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