ネットワークスペシャリスト 2017年午前2 問23

問題文

複数台のPCで1台のプリンタを共有するシステムがある。このプリンタに対する平均印刷要求回数が毎分1回のとき、このプリンタの平均印刷時間(印刷を要求してから終了するまでの時間)は何秒か。ここで、プリンタは、平均が15秒の指数分布に従う時間で印刷要求を処理するものとし、プリンタに対する印刷要求はポアソン分布に従うものとする。

選択肢

ア：15

イ：18

ウ：20（正解）

エ：30

複数台のPCで1台のプリンタを共有するシステムの平均印刷時間【午前2 解説】

正解の理由

この問題は到着がポアソン過程、サービス時間が指数分布のM/M/1単一サーバ待ち行列モデルに対応します。到着率をλ=1回/分、サービスの平均時間をE[S]=15秒=0.25分とすると、利用率ρ=λE[S]=1×0.25=0.25です。M/M/1モデルにおける平均滞在時間（印刷要求を出してから終了するまでの平均時間）Wは

W = f r a c E [S] 1 - r h o

により求まり、これを秒に戻すと

W = f r a c 0.25 1 - 0.25 = f r a c 0.25 0.75 = t f r a c 13 t e x t 分 = 20 t e x t 秒

したがって正解はウ（20秒）です。

解法ステップ

到着率λを確認：毎分1回 → λ = 1（回/分）。
サービス平均時間E[S]を同じ単位に変換：15秒 = 15/60 = 0.25（分）。
利用率を計算：ρ = λ × E[S] = 1 × 0.25 = 0.25。
M/M/1の平均滞在時間公式を適用： $W = E [S] / (1 - ρ) = 0.25/ (1 - 0.25) = 1/3$ 分。
秒に戻す： $1/3$ 分 = 20秒。これが平均印刷時間。

選択肢別の誤答解説

ア: 15秒
サービスの平均時間のみを答えにしてしまったケース。到着の影響（待ち時間）を無視している。利用率が0ではない限り誤り。
イ: 18秒
単位や計算の途中で丸めや誤変換が入った可能性。正確には20秒で、18秒になる理屈はない（例えば0.3分と誤認すると0.3/(1-0.3)=0.4286分=25.7秒とずれる）。
ウ: 20秒（正解）
到着率とサービス時間の単位を揃え、M/M/1の平均滞在時間公式を正しく適用した解。
エ: 30秒
利用率を0.5（例えばサービス時間を0.5分と誤認）などと誤って計算した場合に近づく値。根拠が不適切。

よくある誤解

サービス時間をそのまま秒で使って到着率を分単位で計算せず、単位不整合で誤答する。必ず同じ時間単位に揃える。
平均印刷時間をサービス時間だけ（15秒）と考え、待ち時間（キューの影響）を無視してしまう。到着がある限り平均滞在時間はサービス時間より大きい。
利用率ρの概念を見落とし、 $W = E [S] / (1 - ρ)$ という公式そのものを知らないまたは忘れている。

補足コラム

この問題で使ったモデルはM/M/1待ち行列モデル（到着ポアソン、指数分布サービス、単一サーバ、先着順）。一般に平均滞在時間Wはサービス時間E[S]とシステムの渋滞度ρから求まり、キューイング理論の基本公式です。利用率が高くなるほどWは急速に増加するため、プリンタやサーバの増設などでρを下げることが有効です。参考に、平均待ち行列長L_qや平均滞在時間Wの関係はLittleの法則（L=λW）で結びつきます。

FAQ

Q: 到着率とサービス時間の単位が違ったらどうする？
A: 必ず同一単位に揃える（例：分、秒、時間のいずれかに統一）。単位不整合が最も多いミスです。

Q: ρが1以上だったら？
A: ρ≥1ではシステムは不安定で平均待ち時間は無限大（収束しない）になります。増設や到着率抑制が必要です。

Q: 到着がポアソンでなければ同じ公式は使える？
A: 到着過程やサービス分布が変わると公式は変わります。M/M/1はポアソン到着と指数サービスに特化した結果です。

関連キーワード: M/M/1、待ち行列理論、利用率、平均滞在時間、Littleの法則、印刷ジョブ管理、キューイングモデル

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