応用情報技術者 2009年 秋期 午前2 問16

利用率と応答時間【午前2解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 問題文の条件から「1端末あたり到着率は一定」なので、端末数 N に対して総到着率は $\lambda =N{\lambda }_t$ と線形増加することを確認。
2. サーバの利用率を $\rho =\lambda /\mu$ と表し、N に比例して ρ が増えることを理解。
3. キューイング理論の代表例（M/M/1）での挙動を用い、低負荷では応答時間がほぼ一定、ρ がある値に近づくと待ち時間が急増し発散することを思い出す。
4. 各図の形状と上記の期待挙動を照合し、「低負荷で平坦 → 限界付近で急増」を示す図を選ぶ（該当は エ）。

選択肢別の誤答解説

• 図ア：原点付近から実線がやや上向きに立ち上がっている点が不自然です。実際は低負荷域ではほぼサービス時間に相当する一定値に近く、原点付近で明確に増加している描き方は誤りです（キューイング遅延は利用率に依存して生じるため、到着率が小さいうちは急増しない）。
• 図イ：応答時間が端末数に対して一直線に増加する形は、待ち行列の理論的挙動と合致しません。キューイング遅延は非線形で、特に限界近傍で急増するため単純な直線にはならない。
• 図ウ：応答時間が上限に飽和して水平に近づくという描き方は誤りです。有限のサービス率・単一サービス点の場合、到着率がサービス率を上回ると理論上応答時間は発散（無限大へ）し、有限上限に収束することは基本的にない（ただしバッファや外部制御で見かけ上は制限されるが本問の単純モデル想定では不適合）。
• 図エ：低負荷でほぼ水平に推移し、ある点を過ぎると急激に上がる—これはキューイング理論が示す典型的な形であり、実線・点線のずれも処理能力差による「膝点（knee）」の移動として合理的です。よって正しい。

よくある誤解

• 応答時間は必ずしも線形に増えると思う誤解：低負荷ではほぼ一定、限界近くで急増する非線形挙動が正解です。
• 「応答時間には上限がある」と考える誤解：単純キューイングモデルでは上限で飽和するのではなく、利用率がサービス能力に近づくと発散的に大きくなります（制御機構がない限り）。
• 端末数と1端末あたり到着率を混同する誤解：問題は「1端末あたりは一定」なので総到着率は端末数に比例して増える点を忘れないこと。

補足コラム

• N=5 → λ=0.5, ρ=0.5 ⇒ $E[T]=1/(1-0.5)=2$（秒）
• N=9 → λ=0.9, ρ=0.9 ⇒ $E[T]=1/(1-0.9)=10$（秒）
• N=10 → λ=1.0, ρ=1.0 ⇒ $E[T]\to \infty$（発散） このように N の増加に伴い、ある領域までは緩やかだが限界付近で急激に増えることが具体的に示せます。

FAQ