応用情報技術者 2010年春期午前2 問02

問題文

図に示す16ビットの浮動小数点形式において、10進数0.25を正規化した表現はどれか。ここで、正規化は仮数部の最上位けたが1になるように指数部と仮数部を調節する操作とする。

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選択肢

ア：

イ：

ウ：（正解）

エ：

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浮動小数点の正規化【午前2解説】

正解の理由

10進数0.25は2進数で

0.0 1_{2}

です。設問の正規化ルールは「仮数部の最上位桁が1になるように調整する」ことなので、仮数を

0.1 \underline{00 \dots}_{2}

（=0.5）とし、指数をそれに合わせて

- 1

にすれば元の値に戻ります。
4ビットの指数は2の補数表現が用いられるため、

- 1

は1111（4ビット）で表されます。符号は正の数なのでs = 0。したがってビット列はs=0、e=1111（

- 1

）、f=先頭が1で残り0（正規化された仮数）となり、選択肢のウが該当します。

解法ステップ

10進数0.25を2進数へ変換する。
0.25 = $1/4$ = $0.0 1_{2}$ 。
正規化の条件（仮数部の最上位桁が1）を満たすように仮数と指数を調整する。
$0.0 1_{2} = 0. 1_{2} \times 2^{- 1}$ なので、正規化された仮数は $0.1 \underline{00 \dots}_{2}$ （値は0.5）、指数は $- 1$ 。
指数を4ビット2の補数で表す。
$- 1$ を4ビット2の補数で表すと $1111$ になる（確認は下記参照）。
符号ビットは正なので0。仮数欄は最上位が1、残りは0。
以上よりビット列はs=0, e=1111, f=1000…0（選択肢の表記と一致） → ウ。

（補助計算）4ビット2の補数での値の読み方：ビットb3 b2 b1 b0の値は

- b_{3} \cdot 2^{3} + b_{2} \cdot 2^{2} + b_{1} \cdot 2^{1} + b_{0} \cdot 2^{0}

。
1111の場合：

- 1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = - 8 + 7 = - 1

。

選択肢別の誤答解説

ア：s=0, e=0001（+1）、f=1000…0。仮数が0.5で指数が+1なら値は $0.5 \times 2^{+ 1} = 1.0$ となり0.25とは異なる。
イ：s=0, e=1001。4ビット2の補数で1001は $- 8 + 0 + 0 + 1 = - 7$ なので値は $0.5 \times 2^{- 7}$ （非常に小さい値）で0.25ではない。
ウ：s=0, e=1111（-1）, f=1…0。仮数0.5と指数 -1により $0.5 \times 2^{- 1} = 0.25$ となり正しい。
エ：s=1（負数）、e=0001（+1），f=1000…0。符号が負になっており値は負数（-1.0相当）で0.25とは符号からして不一致。

よくある誤解

1111は「+15」と誤解する：符号付き2の補数表現ではMSBに負の重みがあるため、1111は -1になる（上記の読み方を確認すること）。
正規化の方向を間違える：0.01_2を $1.0 \times 2^{- 2}$ としてしまう誤りがあるが、本問の仮数定義では「仮数部の最上位桁が1（＝0.1xxxの形）」を満たす形にするため、 $0.1 \times 2^{- 1}$ が正しい。
IEEE754と混同する：IEEE754は指数にバイアスを用い、仮数に暗黙の先頭1（1.x）を使う場合がある。本問は「指数は2の補数」「仮数は符号なし2進数で最上位が1になるよう正規化」と定義されており、取り扱いが異なる。

補足コラム

2進表現の正規化にはルールが複数ある。今回のように「仮数を0.1xxxの範囲にする」方式は、仮数フィールドが小数部（小数点のすぐ右が最上位桁）として扱われるフォーマットに適合する。対照的に、IEEE754単精度は仮数を1.xの形（暗黙の1）にするため、指数の扱い（バイアス）や格納法が異なる点に注意。
2の補数の一般的な変換（負の数の表現）：負の値 $- N$ の2の補数表現は、 $N$ をビット幅で反転してから1を加えるか、最上位ビットに負の重みを当てて総和で表現する。

FAQ

Q. なぜ仮数を0.1にして指数を -1にしたのか？
A. 正規化の定義が「仮数の最上位が1になるように調整する」ため、元の0.01_2を

0. 1_{2} \times 2^{- 1}

として表現すると仮数の最上位が1になり、元の値に等しくなるからです。

Q. 4ビットの1111が -1になる確かな確認方法は？
A. 上位ビットに負の重みがあることを使って計算する方法（

- b_{3} \cdot 2^{3} + \dots

）か、1111を反転して0000に1を足すと1になり元の絶対値が1で負の符号が付くことから確認できます。

Q. 仮数部の残りビットをすべて0にするのは本当に許される？
A. 許されます。必要なのは「最上位が1」になることだけで、残りが0でも正規化条件を満たします。

関連キーワード: 浮動小数点, 正規化, 2の補数, 仮数, 指数表現

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