応用情報技術者 2010年 春期 午前2 問02

浮動小数点の正規化【午前2解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 10進数 0.25 を2進数へ変換する。
   0.25 = $1/4$ = $0.01_2$。
2. 正規化の条件（仮数部の最上位桁が1）を満たすように仮数と指数を調整する。
   $0.01_2=0.1_2\times 2^{-1}$ なので、正規化された仮数は $0.1{\underline{00\dots }}_2$（値は0.5）、指数は $-1$。
3. 指数を4ビット2の補数で表す。
   $-1$ を4ビット2の補数で表すと $1111$ になる（確認は下記参照）。
4. 符号ビットは正なので 0。仮数欄は最上位が1、残りは0。
   以上よりビット列は s=0, e=1111, f=1000…0（選択肢の表記と一致） → ウ。

選択肢別の誤答解説

• ア：s=0, e=0001（+1）、f=1000…0。仮数が0.5で指数が+1なら値は $0.5\times 2^{+1}=1.0$ となり 0.25 とは異なる。
• イ：s=0, e=1001。4ビット2の補数で 1001 は $-8+0+0+1=-7$ なので値は $0.5\times 2^{-7}$（非常に小さい値）で 0.25 ではない。
• ウ：s=0, e=1111（-1）, f=1…0。仮数 0.5 と指数 -1 により $0.5\times 2^{-1}=0.25$ となり正しい。
• エ：s=1（負数）、e=0001（+1），f=1000…0。符号が負になっており値は負数（-1.0 相当）で 0.25 とは符号からして不一致。

よくある誤解

• 1111 は「+15」と誤解する：符号付き2の補数表現では MSB に負の重みがあるため、1111 は -1 になる（上記の読み方を確認すること）。
• 正規化の方向を間違える：0.01_2 を $1.0\times 2^{-2}$ としてしまう誤りがあるが、本問の仮数定義では「仮数部の最上位桁が1（＝0.1xxx の形）」を満たす形にするため、$0.1\times 2^{-1}$ が正しい。
• IEEE754 と混同する：IEEE754 は指数にバイアスを用い、仮数に暗黙の先頭1（1.x）を使う場合がある。本問は「指数は2の補数」「仮数は符号なし2進数で最上位が1になるよう正規化」と定義されており、取り扱いが異なる。

補足コラム

• 2進表現の正規化にはルールが複数ある。今回のように「仮数を 0.1xxx の範囲にする」方式は、仮数フィールドが小数部（小数点のすぐ右が最上位桁）として扱われるフォーマットに適合する。対照的に、IEEE754 単精度は仮数を 1.x の形（暗黙の1）にするため、指数の扱い（バイアス）や格納法が異なる点に注意。
• 2の補数の一般的な変換（負の数の表現）：負の値 $-N$ の2の補数表現は、$N$ をビット幅で反転してから1を加えるか、最上位ビットに負の重みを当てて総和で表現する。

FAQ