応用情報技術者 2012年 秋期 午前2 問16

ネットワーク稼働率計算【午前2解説】

正解の理由

• 2本直列経路の稼働率は $0.9\times 0.9=0.81$。
• 中継ノード→東京の並列化された全体稼働率は、並列の補集合を使って $1-(1-0.9)(1-0.81)=0.981$ になる（並列は「少なくとも1本が生きている確率」）。
• これに福岡→中継ノードの $0.9$ を直列で掛けると、全体稼働率は $0.9\times 0.981=0.8829\approx 0.88$。

解法ステップ

1. 回線を直列・並列のブロックに分ける（図で経路を見つける）。
2. 各直列経路の稼働率は、構成する回線の積で求める。例：2本直列は $0.9\times 0.9=0.81$。
3. 並列化された複数経路の稼働率は、全てが同時に故障する確率を掛け合わせてから $1$ から引く： $$A_{\mathrm{parallel}}=1-\prod _i(1-A_i)$$ 例：$1-(1-0.9)(1-0.81)=0.981$。
4. 直列ブロック同士は掛け算する。例：$0.9\times 0.981=0.8829$。
5. 表示桁に合わせて四捨五入や選択肢と比較して最も近いものを選ぶ（ここでは 0.8829 → 0.88）。

選択肢別の誤答解説

• ア: 0.81
  2本直列経路だけ（中継を経る側）を取り出した値で、直接経路を無視した誤り。並列の寄与を見落としている。
• イ: 0.88
  正しい。上記の通り全体で約 $0.8829$ になり、選択肢に最も近い。
• ウ: 0.89
  中継→東京側を「2本ともが並列（0.9 と 0.9）で0.99」と誤認し、$0.9\times 0.99=0.891$ とした場合に得られる値。図の実際の並列構成（0.9 と 0.81）を取り違えた結果である。
• エ: 0.98
  中継→東京側の並列ブロック単独の値 $0.981\approx 0.98$ を全体の値と考えてしまった誤り、あるいは福岡→中継ノードの直列部分を忘れた計算に相当する。

よくある誤解

• 並列系を「稼働率を掛ける（つまり全てが稼働する確率）」で計算してしまう。並列は「少なくとも1本が生きている確率」なので、正しくは $1-\prod (1-A_i)$ を使う点を忘れやすい。
• 図を見てどの辺が並列でどれが直列かを誤認する。分割して「直列の積」「並列の補集合」を順に適用することが重要。
• 有効桁・丸めを適当にして選択肢と比較してしまう。中間結果は十分な桁で扱い、最後に選択肢に合わせて丸める。

補足コラム

# 各リンクの稼働率
p = 0.9
# 福岡->中継 (直列)
stage1 = p
# 中継->東京 の経路: 直接(0.9) と 中継経由(0.9*0.9=0.81)
direct = p
via_mid = p * p
# 並列合成
stage2 = 1 - (1-direct) * (1-via_mid)
total = stage1 * stage2
print(stage1, via_mid, stage2, total)  # 0.9 0.81 0.981 0.8829

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