応用情報技術者 2015年秋期午前2 問02

問題文

集合

A, B, C

に対して

\overline{A \cup B \cup C}

が空集合であるとき、包含関係として適切なものはどれか。ここで、

\cup

は和集合を、

\cap

は積集合を、

\overline{X}

は

X

の補集合を、また、

X \subseteq Y

は

X

が

Y

の部分集合であることを表す。

選択肢

ア：

(A \cap B) \subseteq C

イ：

(A \cap \overline{B}) \subseteq C

ウ：

(\overline{A} \cap B) \subseteq C

エ：

(\overline{A} \cap \overline{B}) \subseteq C

（正解）

集合の包含関係問題【午前2 解説】

要点まとめ

結論： $\overline{A \cup B \cup C} = \emptyset$ は $A \cup B \cup C = U$ （全体集合）を意味し、選択肢エの包含関係が成り立ちます。
根拠：ド・モルガンの法則より $\overline{A \cup B \cup C} = \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$ であり、これが空集合なら $\overline{A} \cap \overline{B} \subseteq C$ となるためです。
差がつくポイント：補集合の扱いとド・モルガンの法則を正確に理解し、空集合の意味を見抜く力が問われます。

正解の理由

\overline{A \cup B \cup C} = \emptyset

は「

A \cup B \cup C

が全体集合

U

と等しい」ことを示します。
ド・モルガンの法則により、

\overline{A \cup B \cup C} = \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}

が空集合であるため、

\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C} = \emptyset

となります。ここから、

\overline{A} \cap \overline{B} \subseteq C

が導かれます。つまり、選択肢エの

(\overline{A} \cap \overline{B}) \subseteq C

が正しい包含関係です。

よくある誤解

「補集合の積集合が空集合なら、どれかの集合が全体集合に含まれる」と誤解しやすいですが、正しくは補集合の積集合が空集合なら、その積集合は他の集合に含まれることを意味します。

解法ステップ

問題文の条件 $\overline{A \cup B \cup C} = \emptyset$ を確認する。
ド・モルガンの法則を用いて $\overline{A \cup B \cup C} = \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$ と変形。
空集合であることから $\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C} = \emptyset$ と理解。
これを基に包含関係を考え、 $\overline{A} \cap \overline{B} \subseteq C$ を導出。
選択肢の中から該当するもの（エ）を選ぶ。

選択肢別の誤答解説

ア: $(A \cap B) \subseteq C$ は条件から導けず誤り。
イ: $(A \cap \overline{B}) \subseteq C$ は補集合の積集合の条件と無関係。
ウ: $(\overline{A} \cap B) \subseteq C$ は部分集合の条件に合致しない。
エ: $(\overline{A} \cap \overline{B}) \subseteq C$ はド・モルガンの法則と空集合の条件から正しい。

補足コラム

ド・モルガンの法則は集合論の基本で、

\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}

\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}

の形で表されます。複数集合の和集合や積集合の補集合を扱う際に必須の知識です。

FAQ

Q: なぜ空集合になると包含関係が導けるのですか？
A: 空集合は要素を持たないため、空集合の部分集合はすべての集合に含まれます。これを利用して包含関係を導きます。

Q: 補集合の積集合が空集合なら、元の集合はどうなりますか？
A: 補集合の積集合が空集合なら、元の集合の和集合が全体集合に等しいことを意味します。

関連キーワード: ド・モルガンの法則、補集合、包含関係、空集合、集合論

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