応用情報技術者 2018年秋期午前2 問02

問題文

コンピュータによる伝票処理システムがある。このシステムは、伝票データをためる待ち行列をもち、M/M/1の待ち行列モデルが適用できるものとする。平均待ち時間がT秒以上となるのは、システムの利用率が少なくとも何%以上となったときか。ここで、伝票データをためる待ち行列の特徴は次のとおりである。　・伝票データは、ポアソン分布に従って到着する。　・伝票データをためる数に制限はない。　・1件の伝票データの処理時間は、平均T秒の指数分布に従う。

選択肢

ア：33

イ：50（正解）

ウ：67

エ：80

M/M/1待ち行列モデルの平均待ち時間と利用率の関係【午前2 解説】

要点まとめ

結論：平均待ち時間が $T$ 秒以上になるのは、システム利用率 $ρ$ が50%以上のときです。
根拠：M/M/1モデルの平均待ち時間 $W$ は $W = \frac{1}{μ - λ}$ で、 $ρ = \frac{λ}{μ}$ と表せます。
差がつくポイント：利用率 $ρ$ の定義と平均待ち時間の式を正しく理解し、 $ρ$ の閾値を計算できるかが重要です。

正解の理由

M/M/1待ち行列モデルでは、平均待ち時間

W

は以下の式で表されます。

W = \frac{1}{μ - λ}

ここで、

λ

は到着率、

μ

はサービス率、利用率

ρ = \frac{λ}{μ}

です。問題文の条件から、サービス時間の平均が

T

秒なので、

μ = \frac{1}{T}

となります。

平均待ち時間が

T

秒以上になる条件は、

W \geq T

これを式に代入すると、

\frac{1}{μ - λ} \geq T

μ - λ \leq \frac{1}{T}

λ \geq μ - \frac{1}{T}

μ = \frac{1}{T}

なので、

λ \geq \frac{1}{T} - \frac{1}{T} = 0

このままだと意味がないので、式変形を見直します。

正しくは、

W = \frac{1}{μ - λ} \geq T = \frac{1}{μ}

両辺の逆数をとると、

μ - λ \leq μ

- λ \leq 0

これは常に成り立つため、もう一度平均待ち時間の定義を確認します。

実は、M/M/1の平均待ち時間

W

は「待ち時間＋サービス時間」であり、待ち時間

W_{q}

は

W_{q} = \frac{ρ}{μ ( 1 - ρ )}

平均待ち時間

W

は

W = W_{q} + \frac{1}{μ} = \frac{1}{μ ( 1 - ρ )}

ここで、

W \geq T = \frac{1}{μ}

となる条件は、

\frac{1}{μ ( 1 - ρ )} \geq \frac{1}{μ}

\frac{1}{1 - ρ} \geq 1

1 \geq 1 - ρ

ρ \geq 0

これも常に成り立つため、問題文の「平均待ち時間が

T

秒以上」とは「待ち時間

W_{q}

が

T

秒以上」と解釈するのが正しいです。

待ち時間

W_{q}

が

T

秒以上となる条件は、

W_{q} = \frac{ρ}{μ ( 1 - ρ )} \geq T = \frac{1}{μ}

\frac{ρ}{μ ( 1 - ρ )} \geq \frac{1}{μ}

\frac{ρ}{1 - ρ} \geq 1

ρ \geq 1 - ρ

2 ρ \geq 1

ρ \geq \frac{1}{2} = 0.5

つまり、利用率が50%以上のとき、平均待ち時間（待ち行列での待ち時間）が

T

秒以上になります。したがって、正解はイの50%です。

よくある誤解

平均待ち時間

W

と待ち時間

W_{q}

を混同し、サービス時間を含むか否かを誤解することが多いです。
また、利用率

ρ

の定義を間違え、単純に

λ

や

μ

の大小だけで判断する誤りもあります。

解法ステップ

M/M/1モデルの平均待ち時間 $W$ と待ち時間 $W_{q}$ の定義を確認する。
問題文の「平均待ち時間」が待ち時間 $W_{q}$ を指すと仮定する。
$W_{q} = \frac{ρ}{μ ( 1 - ρ )}$ の式に $W_{q} \geq T = \frac{1}{μ}$ を代入。
不等式を $ρ$ について解き、 $ρ \geq 0.5$ を導く。
選択肢から50%を選ぶ。

選択肢別の誤答解説

ア（33%）：利用率33%では待ち時間 $W_{q}$ は $T$ 秒未満で、余裕がある状態です。
イ（50%）：正解。待ち時間が $T$ 秒以上になる境界値です。
ウ（67%）：利用率67%は待ち時間が $T$ 秒を超えるのは確かですが、閾値としては高すぎます。
エ（80%）：80%はさらに高負荷状態であり、問題の条件を満たす最小値ではありません。

補足コラム

M/M/1待ち行列モデルは、到着がポアソン分布、サービス時間が指数分布である単一サーバの待ち行列モデルです。利用率

ρ

が1に近づくほど待ち時間は無限大に発散します。実務では、

ρ

を低く保つことがシステムの安定運用に重要です。

FAQ

Q: M/M/1モデルで利用率が100%になるとどうなる？
A: 利用率

ρ = 1

はサービス能力と到着率が同じで、待ち時間が無限大に発散しシステムが不安定になります。

Q: 平均待ち時間と待ち時間の違いは？
A: 平均待ち時間

W

は待ち時間

W_{q}

とサービス時間の合計です。問題文の「平均待ち時間」は待ち時間

W_{q}

を指す場合が多いです。

関連キーワード: M/M/1待ち行列、利用率、平均待ち時間、待ち時間、ポアソン分布、指数分布、待ち行列モデル

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