応用情報技術者 2020年 秋期 午前2 問75

経済的発注量【午前2解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 図の曲線対応を確認する
   • 直線（①）＝ 平均年間保管費用： $\frac{Q}{2}H$（$Q$ に比例して増加）
   • 凸型減少曲線（②）＝ 年間発注費用： $\frac{R}{Q}C$（$Q$ が増えるほど減少）
2. 総費用を式で表す
   $TC(Q)=\frac{Q}{2}H+\frac{R}{Q}C$
3. 最小化（微分して 0）
   $\frac{dTC}{dQ}=\frac{H}{2}-\frac{RC}{Q^2}=0$
   より、
   $\frac{H}{2}=\frac{RC}{Q^2}\Rightarrow Q^2=\frac{2RC}{H}$
   したがって、
   $Q=\sqrt{\frac{2RC}{H}}$
4. 第二導関数で最小確認（省略可だが安全）
   $\frac{d^{2}TC}{d{Q}^2}=\frac{2RC}{Q^3}>0$
   よって極値は最小である。

選択肢別の誤答解説

• ア: 正解。上の導出どおり、年間保管費用と年間発注費用が等しくなる点（図の③）で総費用が最小となり、式は $Q=\sqrt{2RC/H}$ となる。
• イ: 誤り。$\frac{Q}{2}H+\frac{R}{Q}C$ は総費用 $TC(Q)$ の式であり、値自体は「総費用」を与える。図中のU字型曲線はこの総費用関数の形を表すが、設問の③は「発注量（横軸）」であり、総費用の式そのものではない。
• ウ: 誤り。$\frac{R}{Q}C$ は年間発注費用であり、図の凸型で減少する曲線②に対応する。単独では発注費用を表す式であり、③（最適発注量）ではない。
• エ: 誤り。$\frac{Q}{2}H$ は平均年間保管費用であり、図の直線①に対応する。これも③ではない。

よくある誤解

• ①と②を取り違える：直線が保管費用、凸型減少が発注費用、という対応を逆に覚えてしまうと解が逆になるので注意すること。
• 「最小点は保管費用＝発注費用ではない」との誤解：このモデルでは総費用最小点で両者の値が一致するため、等式を使って簡単に解ける。常に等しいとは限らない別モデルと混同しないこと。
• 切り捨て・切り上げの扱い：理論上の $Q^{\ast }$ は実数だが実務では整数・ロット単位で発注する必要がある。近い整数に丸めたときの総費用増加を確認すること。

補足コラム

• パラメータ感度：$Q^{\ast }=\sqrt{2RC/H}$ から分かる通り、発注費用 $C$ を 4 倍にすると $Q^{\ast }$ は 2 倍になる（$\sqrt{4}=2$）。需要 $R$ に比例して $Q^{\ast }$ は増え、保管費 $H$ が増えると $Q^{\ast }$ は減る。
• 実務上の注意点：数量割引、発注リードタイム、在庫切れリスク（安全在庫）などがあると単純な EOQ モデルは拡張が必要。数量割引があると総費用の形状が変わり、最適解は折衝的に決定することが多い。
• 図中の複数のU字曲線はパラメータ（例えば $C$ や $H$）が異なるときの総費用曲線の変化を示すことが多く、上方にあるものは総費用が大きいケースを表す。

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