応用情報技術者 2021年 秋期 午前2 問76
問題文
製品 X, Y を1台製造するのに必要な部品数は、表のとおりである。製品1台当たりの利益が X,Yともに1万円のとき、利益は最大何万円になるか。ここで、部品Aは120個、部品Bは60個まで使えるものとする。
選択肢
ア：30
イ：40
ウ：45（正解）
エ：60
製品X, Yの利益最大化問題【午前2 解説】
要点まとめ
- 結論：製品XとYの製造台数を部品制約のもとで最適に配分すると、最大利益は45万円となります。
- 根拠：部品AとBの使用制限を満たしつつ、利益が最大となる組み合わせを線形計画法の考え方で求めることがポイントです。
- 差がつくポイント：単純に部品数の合計や利益単価だけで判断せず、両部品の制約を同時に考慮して計算することが重要です。
正解の理由
製品Xは部品Aを3個、部品Bを1個使い、製品Yは部品Aを2個、部品Bを2個使います。
部品Aは120個、部品Bは60個まで使えるため、以下の制約式が成り立ちます。
ここで、は製品Xの台数、は製品Yの台数です。利益は1台あたり1万円なので、利益の最大化は
となります。
この制約条件を満たす整数解の中で、が最大となるのはで、利益は万円です。
よって、正解はウの45万円です。
部品Aは120個、部品Bは60個まで使えるため、以下の制約式が成り立ちます。
ここで、は製品Xの台数、は製品Yの台数です。利益は1台あたり1万円なので、利益の最大化は
となります。
この制約条件を満たす整数解の中で、が最大となるのはで、利益は万円です。
よって、正解はウの45万円です。
よくある誤解
部品AとBの制約を別々に考え、どちらか一方の制約だけで最大台数を決めてしまう誤りが多いです。
また、利益単価が同じなので単純に部品の消費が少ない製品だけを作れば良いと考えるのも誤りです。
また、利益単価が同じなので単純に部品の消費が少ない製品だけを作れば良いと考えるのも誤りです。
解法ステップ
- 製品XとYの部品使用数を確認する（A:3,2、B:1,2）。
- 部品AとBの使用上限を式にして制約条件を作る。
- 利益最大化の目的関数を設定する（）。
- 制約条件を満たす範囲で目的関数を最大化する整数解を探す。
- 解を代入して利益を計算し、最大値を選ぶ。
選択肢別の誤答解説
- ア: 30万円
部品制約を厳しく見積もりすぎて利益を過小評価しています。 - イ: 40万円
部品Bの制約を見落として、製品Yの台数を多くしすぎた可能性があります。 - ウ: 45万円
部品A・B両方の制約を正しく考慮し、利益最大化を達成しています。 - エ: 60万円
部品の使用制限を超えて計算しているため、実現不可能な利益です。
補足コラム
この問題は線形計画法の基本的な応用例です。
部品の制約条件を線形不等式として表現し、目的関数を最大化する問題は、製造業の生産計画や資源配分問題で頻出します。
また、整数解を求める場合は整数計画問題となり、より高度な手法が必要ですが、今回のように小規模なら手計算でも解けます。
部品の制約条件を線形不等式として表現し、目的関数を最大化する問題は、製造業の生産計画や資源配分問題で頻出します。
また、整数解を求める場合は整数計画問題となり、より高度な手法が必要ですが、今回のように小規模なら手計算でも解けます。
FAQ
Q: 部品の使用制限が変わったらどう計算すれば良いですか？
A: 制約条件の不等式の右辺を新しい制限値に変えて、同様に最大化問題を解き直します。
A: 制約条件の不等式の右辺を新しい制限値に変えて、同様に最大化問題を解き直します。
Q: 利益単価が異なる場合はどうしますか？
A: 目的関数を利益単価を考慮した形に変更し、のように設定して解きます。
A: 目的関数を利益単価を考慮した形に変更し、のように設定して解きます。
関連キーワード: 線形計画法、生産計画、資源配分、部品制約、利益最大化
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