応用情報技術者 2021年 春期 午前2 問02

桁落ち（有効桁数の減少）【午前2解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 問題文で問われている誤差の発生原因（どんな操作・状況で起きるか）を把握する。
2. 各選択肢のキーワードを確認する：
   • 「値がほぼ等しい二つの数値の差」 → 桁落ちの定義に一致
   • 「指定された有効桁で切捨て・四捨五入」 → 丸め誤差
   • 「大きな数と小さな数の加算で小さい数が反映されない」 → 小さい項の吸収（丸めによる情報損失）
   • 「無限級数を有限項で打ち切る」 → 打切り（截断）誤差
3. 定義と照合して正しい選択肢を決定する。

選択肢別の誤答解説

• ア：正しい。差をとるときに桁が打ち消され、有効桁数が減少して誤差が相対的に大きくなる現象を示す。
  • 例：有限精度（有効桁6桁）の下で $1.234567$ と $1.234560$ を扱うと、差は $0.000007$ だが有効桁は1桁しか残らず精度が大きく低下する。
• イ：誤り。切り捨て・切上げ・四捨五入による誤差は「丸め誤差（rounding error）」と呼ばれ、桁落ちとは異なる分類。桁落ちは操作（特にほぼ等しい数の差）による有効桁数の喪失を指す。
• ウ：誤りだが注意が必要。絶対値が非常に大きい数と小さい数の加算で小さい数が結果に反映されない現象は、桁あふれ（オーバーフロー）ではなく「小さい項の吸収」や「丸めによる情報の消失」として説明するのが正確です。つまりウは「丸め誤差の一形態（小さい項の吸収）」であり、桁落ち（差による有効桁の喪失）とは原因が異なります。
• エ：誤り。無限級数を有限項で打ち切ることによる誤差は「打切り誤差（截断誤差）」であり、桁落ちとは別の種類の近似誤差である。

よくある誤解

1. 桁落ちと丸め誤差を混同する：桁落ちは「近接する値の差による有効桁喪失」であり、丸め誤差は「表現精度に合わせて下位桁を削る操作」そのものを指します。原因が違います。
2. ウの現象を桁あふれと呼ぶ誤り：大きい数と小さい数の加算で小さい数が消えるのは桁あふれ（overflow）ではなく、丸めによる小さい項の吸収（情報の消失）です。
3. 桁落ち対策は単に桁数を増やせば良いと考える誤り：確かに精度向上は有効だが、根本的には計算の式変形（打ち消しを避ける）やアルゴリズムの工夫も必要になることが多いです。

補足コラム

• 回避・軽減策
  • 高精度型（精度の高い浮動小数点や多倍長）を使う。
  • 数学的に式を変形して差による打ち消しを避ける。例：$\sqrt{a+1}-\sqrt{a}=\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}$（差の形を除去して安定化）。
  • Kahanの補正付き和（Kahan summation）など、丸め誤差を低減するアルゴリズムを用いる。
• 実用例：数値微分では $f(x+h)-f(x)$ のような差を用いるため桁落ちが起きやすく、差分幅 $h$ の選び方と高精度計算が重要になります。

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