応用情報技術者 2022年 秋期 午前2 問64

正味現在価値（NPV）【午前2解説】

正解の理由

• A の NPV ≒ −5.68
• B の NPV ≒ +1.40 ← 最大
• C の NPV ≒ −2.14
• 投資をしない の NPV = 0

解法ステップ

1. 正味現在価値の定義を確認する。一般式は $$\text{NPV}=-I+\sum _{t=1}^T\frac{C{F}_t}{(1+r{)}^t}$$ （$I$：投資額、$C{F}_t$：t年目の回収額、$r$：割引率）
2. 割引因子を求める（5% の場合）：
   • $v_1=\frac{1}{1.05}\approx 0.952381$
   • $v_2=\frac{1}{1.05^2}\approx 0.907029$
   • $v_3=\frac{1}{1.05^3}\approx 0.863838$
3. 各シナリオについて、回収額×割引因子の合計を求め、投資額を引いてNPVを算出する。
   • A: $40v_1+80v_2+120v_3-220\approx -5.68$
   • B: $120v_1+80v_2+40v_3-220\approx +1.40$
   • C: $80(v_1+v_2+v_3)-220\approx -2.14$
   • 投資しない: $0-0=0$
4. NPV の大小を比較し、最大のものを採択する（B が最大）。

r = 0.05
v = [1/(1+r)**t for t in (1,2,3)]
scenarios = {
    "A": [40,80,120],
    "B": [120,80,40],
    "C": [80,80,80],
    "No": [0,0,0]
}
I = 220
for k, cf in scenarios.items():
    pv = sum(c*vi for c,vi in zip(cf, v))
    npv = pv - (I if k!="No" else 0)
    print(k, round(npv, 2))

選択肢別の誤答解説

• ア（A）: 回収の後半に大きな金額が来るため、割引の影響で現在価値が小さくなり、NPV は約 −5.68 万円。投資しない（0）より悪く、Bよりも小さい。
• イ（B）: 回収が早期に大きく入るため割引の影響が小さく、NPV は約 +1.40 万円で最大。したがって最良。
• ウ（C）: 毎年均等に回収があり総額は同じ方向性だが、タイミングでBに劣り、NPV は約 −2.14 万円で投資しないより悪い。
• エ（投資をしない）: NPV=0。A・C のようにマイナスのNPVよりは「損失が小さい」選択肢であるが、B の正のNPVよりは劣る。したがって最良ではない。

よくある誤解

• 総回収額が同じなら等しく有利と考える誤り：将来の回収は割引されるため、回収の早い案が有利になることが多いです。
• 投資をしない＝最も保守的で常に最良と誤解すること：投資をしないのNPVは0であり、正のNPVを持つ案があれば投資を行う方が有利です。
• 割引率を無視して単純合計で比較するミス：割引現在価値を計算せずに誤った結論を出す原因になります。

補足コラム

• NPVが判断基準として優れている理由：NPVは「価値の増減」を金額で直接示し、投資案間で比較可能です。複数投資を同時に行えるか、資金制約があるかで選択が変わる場合は、NPV合計や資本制約下の最適化を考えます。
• 小数点以下の扱い：試験では概算で良い場合もありますが、各年の割引因子は少なくとも小数第3〜4位まで計算しておくと安心です。
• 判定ルール：通常、NPV>0 なら投資採択、NPV<0 なら採択しない（ただし資本制約や他案との相対評価を考慮）。

FAQ