応用情報技術者 2023年 春期 午前2 問02

正規分布の平均と標準偏差【午前2解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 問題で求める分布の性質を確認する：正規分布＝単峰（1つの山）かつ左右対称。平均は山頂に一致する。
2. 図の破線の意味を確認する：中央の破線が平均（$\mu$）を示し、左右の外側破線は平均$\pm \sigma$ を示す表示になっていると読む（図の凡例や破線の等間隔性で判断）。
3. 各選択肢について形状と幅を比較する：
   • 単峰で左右対称か（正規分布の必須条件）
   • 山の尖り具合（尖っていれば小さい$\sigma$、低く広ければ大きい$\sigma$）
   • 破線と数値の配置が平均60、外側が $\pm 10$ に対応しているか
4. 上の基準で当てはまる図を選ぶ。単峰で左右対称、かつ幅が中程度で $\sigma =10$ に合致するのは ア。

選択肢別の誤答解説

• ア：単峰・左右対称で幅が適度に大きく、平均と標準偏差の位置関係（中央破線＝平均、外側破線＝平均±σ）と整合するため正解。
• イ：非常に尖った狭い山で、$\sigma$ が小さいことを示す。平均は図の中央にあるが幅が小さすぎて $\sigma =10$ には合わない。
• ウ：二峰性（双峰）であり、正規分布の「単峰・左右対称」の性質を満たさない。平均が山頂と一致するわけではなく分布そのものが異なる。
• エ：山が左寄りで右裾が長い非対称（歪度あり）。正規分布は左右対称であるため不適切。

よくある誤解

• 破線の「数値の位置」と破線そのものを混同する誤読：凡例や目盛り配置が図中でずれて見える場合があるので、まず破線同士の相対位置（左右対称性）と山の頂点位置を基準に読むこと。
• 山の高さだけで $\sigma$ を判断するミス：高さ（ピーク値）は密度の最大値であって、標準偏差は「幅（裾の広がり）」を見る指標。尖っていて高い＝$\sigma$ 小、低く広い＝$\sigma$ 大を使い分ける。
• 単に「山が中央にある」だけで正規と判断する誤り：中央にあっても二峰や非対称な形では正規分布とは言えない（単峰かつ左右対称であることが必要）。

補足コラム

• 約68%が $\mu \pm \sigma$（平均±1標準偏差）内、
• 約95%が $\mu \pm 2\sigma$、
• 約99.7%が $\mu \pm 3\sigma$ に入ります。今回の条件 $\mu =60,\sigma =10$ ならば
• $\mu \pm \sigma$ = 50〜70（ここが分布の主要な幅）、
• $\mu \pm 2\sigma$ = 40〜80。 図をざっと見たときに「主要な山の幅がおおむね50〜70の範囲を覆っているか」を確認すると良い目安になります。

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