応用情報技術者 2024年春期午前2 問75

問題文

製品X,Yを1台製造するのに必要な部品数は、表のとおりである。製品1台当たりの利益がX,Yともに1万円のとき、利益は最大何万円になるか。ここで、部品Aは120個、部品Bは60個まで使えるものとする。

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選択肢

ア：30

イ：40

ウ：45（正解）

エ：60

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資源配分による利益最大化【午前2解説】

正解の理由

変数を

x

（製品Xの台数）、

y

（製品Yの台数）とすると、部品A・Bの制約はそれぞれ

3 x + 2 y \leq 120

、

x + 2 y \leq 60

です。目的は利益の最大化で単価がともに1万円のため、最大化すべき値は

x + y

です。両不等式を足すと

4 x + 4 y \leq 180

となり、これを整理すると

x + y \leq 45

となります。この上界45は、2つの制約式の交点

(x, y) = (30, 15)

で実際に達成されます。したがって利益は

x + y = 45

（万円）で最大となり、選択肢の中ではウが正解です。

解法ステップ

変数設定： $x$ ＝製品X台数、 $y$ ＝製品Y台数。目的は $x + y$ の最大化。
制約式の立式：
- 部品A： $3 x + 2 y \leq 120$
- 部品B： $x + 2 y \leq 60$
- $x \geq 0, y \geq 0$
不等式を足して上界を導出：
- $3 x + 2 y + (x + 2 y) \leq 120 + 60$ → $4 x + 4 y \leq 180$ → $x + y \leq 45$
上界が達成可能か確認するため、制約の等号で交点を求める：
- 連立 $3 x + 2 y = 120$ 、 $x + 2 y = 60$ を解くと $x = 30, y = 15$ 。
交点で $x + y = 45$ となり上界に一致するので最大値は45（万円）。

選択肢別の誤答解説

ア: 30
これは $x = 0, y = 30$ （製品Yを30台）に対応します。検算すると部品Aは $2 \times 30 = 60 \leq 120$ 、部品Bは $2 \times 30 = 60 \leq 60$ で制約を満たしますが、 $x + y = 30$ で最大値45には及びません。
イ: 40
これは $x = 40, y = 0$ （製品Xを40台）に対応します。部品Aは $3 \times 40 = 120 \leq 120$ 、部品Bは $1 \times 40 = 40 \leq 60$ と両方の制約を満たす実行可能解であり、 $x + y = 40$ となりますが、交点で得られる45より小さいため最適ではありません。
ウ: 45
交点 $(30, 15)$ で得られる値で、上界 $x + y \leq 45$ を達成しているため最大値です。
エ: 60
合計が60となる実行可能解は存在しません。例えば $x = 60, y = 0$ は部品Aの制約 $3 \times 60 = 180 > 120$ に違反し、 $x = 0, y = 60$ は部品Bの制約 $2 \times 60 = 120 > 60$ に違反します。よって不可能です。

よくある誤解

「各部品の個数を単純に割って、大きい方を選べばよい」
部品ごとに単独で最大化した値（例えば部品Aだけ見るとXを40台、部品Bだけ見るとYを30台）は個別には制約を満たしても同時に考慮すると最適解にならない場合があるため注意が必要です。
「整数解にこだわりすぎる」
多くのこの種の問題では線形計画の頂点が整数になることが多いですが、まずは連続値として頂点（交点）を確認すると効率的です。今回も交点が整数で解となっています。

補足コラム

線形目的関数の最大化問題では、可行領域（制約で作られる凸多角形）の頂点（角点）で最適値が得られます。今回のように制約式を足し合わせて直接目的関数の上界を導出できる場合は素早く最大値の候補を得られます。一般にはグラフ法や単体法で解きますが、複数のリソース制約がある場面では「制約の線形結合」による評価が有効なことが多いです。

FAQ

Q1: どうして交点で最大になるのですか？
A1: 目的関数と制約がすべて線形であるため、可行領域は凸多角形になり、線形目的関数はその頂点で極値を取ります。よって候補は頂点だけで十分です。

Q2: 部品は整数個なので解は必ず整数ですか？
A2: 実務では台数は整数ですが、数学的な線形計画では連続解をまず求めます。本問の交点は整数

(30, 15)

であり整数解で問題ありません。もし交点が非整数で整数解が必要な場合は整数計画法を用います。

関連キーワード: 線形計画法、資源配分、グラフ法、制約条件、凸領域、頂点解、最大化問題

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