応用情報技術者 2024年 春期 午前2 問75
問題文
製品X,Yを1台製造するのに必要な部品数は、表のとおりである。製品1台当たりの利益がX,Yともに1万円のとき、利益は最大何万円になるか。ここで、部品Aは120個、部品Bは60個まで使えるものとする。
選択肢
ア：30
イ：40
ウ：45（正解）
エ：60
製品X,Yの利益最大化問題【午前2 解説】
要点まとめ
- 結論：製品XとYの製造台数を部品制約下で最適に配分すると、最大利益は45万円となります。
- 根拠：部品Aが120個、部品Bが60個の制約のもと、製品1台あたりの部品使用数と利益を考慮し、連立不等式を解くことで最適解を導出します。
- 差がつくポイント：単純な部品数の割り算だけでなく、両製品の組み合わせによる部品消費のバランスを考え、利益最大化のための線形計画問題として解く視点が重要です。
正解の理由
製品Xは部品Aを3個、部品Bを1個使い、製品Yは部品Aを2個、部品Bを2個使います。利益はどちらも1台あたり1万円です。
部品Aの制約：
部品Bの制約：
ここではそれぞれ製品X,Yの製造台数です。
これらの不等式を満たしつつ利益を最大化すると、が最適解となり、利益は万円です。
したがって、選択肢の中でウ: 45が正解です。
部品Aの制約：
部品Bの制約：
ここではそれぞれ製品X,Yの製造台数です。
これらの不等式を満たしつつ利益を最大化すると、が最適解となり、利益は万円です。
したがって、選択肢の中でウ: 45が正解です。
よくある誤解
部品ごとに単純に割り算して最大台数を求めるだけでは、両部品の制約を同時に満たす最適解は得られません。
また、利益が同じだからといって片方だけを大量生産するのが最適とは限りません。
また、利益が同じだからといって片方だけを大量生産するのが最適とは限りません。
解法ステップ
- 製品X,Yの部品使用数を確認する（A:3,1、B:1,2）。
- 部品A,Bの在庫制約を式に表す：、.
- 利益関数を設定：.
- 連立不等式の境界線をグラフ化または代入法で解く。
- 制約条件を満たす整数解の中で利益が最大となる組み合わせを探す。
- 最適解を得て、利益万円と判定。
選択肢別の誤答解説
- ア: 30 — 部品Bの制約を無視し、製品Xのみ30台作った場合の利益。部品Bが余るため非最適。
- イ: 40 — 部品Aの制約を単純に割った値で、部品Bの制約を満たさない可能性がある。
- ウ: 45 — 部品制約を両方満たし、利益最大化した正解。
- エ: 60 — 部品制約を超過しており、実現不可能な利益。
補足コラム
この問題は線形計画問題の基本形であり、製造業の生産計画や資源配分問題に応用されます。
利益最大化のためには、単純な割り算ではなく、複数の制約条件を同時に考慮することが重要です。
また、整数解が求められる場合は、線形計画問題の整数計画問題として扱う必要があります。
利益最大化のためには、単純な割り算ではなく、複数の制約条件を同時に考慮することが重要です。
また、整数解が求められる場合は、線形計画問題の整数計画問題として扱う必要があります。
FAQ
Q: なぜ製品Xだけを作るのではなく、Yも作るのですか？
A: 部品Bの制約が厳しいため、Xだけを作ると部品Bが不足し、利益最大化にならないからです。
A: 部品Bの制約が厳しいため、Xだけを作ると部品Bが不足し、利益最大化にならないからです。
Q: 利益が同じなら、どちらか一方だけ作っても良いのでは？
A: 部品の使用量が異なるため、両方を組み合わせることで部品の無駄を減らし、利益を最大化できます。
A: 部品の使用量が異なるため、両方を組み合わせることで部品の無駄を減らし、利益を最大化できます。
関連キーワード: 線形計画法、生産計画、資源配分、利益最大化、部品制約
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