基本情報技術者 2009年秋期午前（科目A）問25

問題文

図は全加算器を表す論理回路である。図中のxに1、yに0、zに1を入力したとき、出力となるc(けた上げ数)、s(和)の値はどれか。

選択肢

ア：

イ：

ウ：（正解）

エ：

##: 全加算器の出力（x=1, y=0, z=1）【午前2 解説】

要点まとめ

結論：入力が x=1, y=0, z=1 のとき、出力は上位桁 c=1、和 s=0 であり選択肢はウが正解です。
根拠：全加算器の和は $s = x \oplus y \oplus z$ 、桁上げは $c = x y + yz + z x$ （論理積と和）で計算できます。
差がつくポイント：XOR の順序や多数決的なキャリー式を確実に覚え、手で逐次計算する習慣を付けてください。

正解の理由

正解: ウ（c=1, s=0）
全加算器の定義に従い、和

s

と桁上げ

c

は次の式で与えられます。

$s = x \oplus y \oplus z$
$c = x y + yz + z x$ （ここで $+$ は論理和、隣接は論理積）

与えられた入力を代入すると、

$s = 1 \oplus 0 \oplus 1 = (1 \oplus 0) \oplus 1 = 1 \oplus 1 = 0$
$c = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 + 0 + 1 = 1$
よって出力は $c = 1, s = 0$ 、選択肢のうち「c=1, s=0」に当たるのがウです。

よくある誤解

XOR の性質で 1⊕0⊕1 を (1⊕1)⊕0 として誤って 0⊕0 = 0 と計算してしまうミス。
キャリーを単に任意の一つの入力が1なら1と誤解し、多数決（2つ以上）を見落とすこと。

解法ステップ

全加算器の出力式を確認する： $s = x \oplus y \oplus z$ , $c = x y + yz + z x$ を確認。
与えられた入力 x=1, y=0, z=1 を式に代入する。
XOR を順に計算する：1⊕0=1、さらに 1⊕1=0 を得て $s = 0$ 。
キャリー項を計算する：1·0=0, 0·1=0, 1·1=1 を足して $c = 1$ 。
表示された選択肢と照合して、c=1, s=0 に該当する選択肢を選ぶ（ウ）。

選択肢別の誤答解説

ア（c=0, s=0）: s=0 は一致するが c が 0 になっており、xとzの積 1·1 を見逃した誤り。
イ（c=0, s=1）: s を 1 としている点が間違い。実際は 1⊕0⊕1 = 0 になる。
ウ（c=1, s=0）: 正解。上記の通り $s = 0$ , $c = 1$ で条件を満たす。
エ（c=1, s=1）: c は正しいが s が誤り。和の XOR 計算を誤ったケース。

補足コラム

全加算器は半加算器2個と1つの OR 回路で実装可能です。半加算器は $s = x \oplus y$ , $c = x y$ を出力します。
キャリー式 $c = x y + yz + z x$ は「入力のうち少なくとも2つが1であるとき1」つまり多数決的な特性を持ちます。
真理値表（全8通り）を覚えておくと試験で高速に判断できます。簡単な Python コードで確認可能です：

# 全加算器の真理値表
for x in (0,1):
    for y in (0,1):
        for z in (0,1):
            s = x ^ y ^ z
            c = (x & y) | (y & z) | (z & x)
            print(x,y,z, "-> c=", c, "s=", s)

実務ではキャリー伝播遅延が性能に影響するため、キャリー生成・伝搬（carry generate/propagate）回路やキャリールックアヘッドが用いられます。

FAQ

Q: 全加算器の s を計算する別の直感的な方法は？
A: 入力の1の個数が奇数なら s=1、偶数なら s=0（XOR は奇数パリティ検出）。

Q: キャリー c は「多数決」と表現できますか？
A: はい。x,y,z のうち少なくとも2つが1のときに c=1 となるため、多数決的性質と考えられます。

関連キーワード: 全加算器、半加算器、XOR、キャリー、真理値表、ブール代数、デジタル回路、キャリールックアヘッド、伝播遅延

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