基本情報技術者 2009年秋期午前（科目A）問76

問題文

図は、製品の製造上のある要因の値と品質特性の値yとの関係をプロットしたものである。この図から読み取れることはどれか。

ア：xからyを推定するためには,2次回帰係数の計算が必要である。

イ：xからyを推定するための回帰式は,yからxを推定する回帰式と同じである。

ウ：xとyの相関係数は正である。

エ：xとyの相関係数は負である。（正解）

グラフの散布点が「左上から右下へ一直線的に分布」しているので，x が増えると y が減る傾向（負の直線関係）を示しています。ピアソンの相関係数

r

は

r = \frac{\sum _{i} ( x _{i} - x ˉ ) ( y _{i} - y ˉ )}{\sum _{i} ( x _{i} - x ˉ ) ^{2} \sum _{i} ( y _{i} - y ˉ ) ^{2}}

で表され，分子の和が負であれば

r < 0

になります。本図では分子が負になるため相関係数は負で，選択肢「エ」が正解です。

また選択肢の他の文は次の理由で誤りです。2次回帰（選択肢ア）は点群に曲線的な屈曲が見られないため不要であり，回帰式の対称性（選択肢イ）は最小二乗法の定義上成り立ちません（x と y を入れ替えると最小化される残差の方向が変わるため）。

ア: xからyを推定するためには，2次回帰係数の計算が必要である。
→ 誤り。図は直線的な負の関係を示しており，二次項が必須である根拠がない。単純な線形回帰で十分表現できる場合が多い。
イ: xからyを推定するための回帰式は，yからxを推定する回帰式と同じである。
→ 誤り。最小二乗回帰は残差を縦方向（y 方向）で最小化するため，x と y を入れ替えると最小化の対象が変わり，傾きは一般に異なる。相関係数は対称だが回帰式は対称でない点を区別する必要がある。
ウ: xとyの相関係数は正である。
→ 誤り。点群が右へ行くほど y が小さくなる分布のため，相関係数は負になる。
エ: xとyの相関係数は負である。
→ 正解。散布図の形から負の相関が読み取れるため，選択肢はエです。

相関係数の大きさの目安： $∣ r ∣$ が 0.0–0.3 弱，0.3–0.7 中程度，0.7–1.0 強い線形関係の目安として使えます（分野によって基準は異なります）。
外れ値1点で $r$ が大きく変わることがあるため，散布図で外れ値の存在を必ず確認してください。
データが非線形（曲線）に分布している場合はピアソン相関では関係を正しく評価できないことがあります。スピアマン順位相関など別指標を検討します。
簡単な Python 例（相関係数の計算）：

import numpy as np
x = np.array([1,2,3,4,5])
y = np.array([5,4,3,2,1])
r = np.corrcoef(x, y)[0,1]
print(r)  # -1.0（完全な負の相関）

Q: 散布図の傾きが負なら必ず因果関係があるのですか？
A: いいえ。相関は共変動の有無を示すだけで，因果関係の証明には実験設計や追加の解析が必要です。

Q: x と y を入れ替えると相関係数は変わりますか？
A: ピアソンの相関係数は対称であり，x と y を入れ替えても値（符号・大きさ）は変わりません。ただし回帰式（最小二乗回帰）は変わります。

Q: 点が完全に直線上にある場合，相関係数は ±1 になりますか？
A: はい。完全に直線上（単調増加なら +1，単調減少なら −1）であれば相関係数は絶対値 1 になります。

関連キーワード: 相関係数、回帰分析、散布図、ピアソン相関、外れ値の影響、相関と因果

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