基本情報技術者 2012年 秋期 午前（科目A） 問15

多重化システムの稼働率計算【午前2 解説】

要点まとめ

• 結論：左端の直列要素$P$と、上下二系統の並列構成の合成で全体稼働率は $P\{1-(1-P^2{)}^2\}$ です。
• 根拠：上下の各系統は直列でそれぞれ信頼度$P^2$、並列結合は$1-(1-R_1)(1-R_2)$の公式を用います。
• 差がつくポイント：直列と並列を誤認すると指数の扱いや補集合（失敗確率）で簡単に間違えます。直列は積、並列は「1−不稼働の積」を必ず意識してください。

正解の理由

よくある誤解

• 直列と並列を取り違える：枝内の2つを並列と誤認して$1-(1-P{)}^2$とするミスが頻出します。
• 全体を単純に並列化とみなす：左右の合流点以降を全体並列と誤って$1-(1-P{)}^4$のように扱う誤り。
• 補集合（失敗確率）を使わない：並列計算では「少なくとも1つ稼働」の式 $1-\prod (1-R_i)$ を忘れると誤答します。

解法ステップ

1. 図を部分に分割し、直列・並列の単位を確認する。ここでは左端の$P$と右側の上下2系統。
2. 上下各系統は直列2要素なので各系統の信頼度を計算：$R_{\text{枝}}=P\times P=P^2$。
3. 上下2系統は並列（どちらか一方でよい）なので並列合成：$R_{\text{並列}}=1-(1-P^2{)}^2$。
4. 全体は左端の$P$と直列なので最終的に全体稼働率は $P\times R_{\text{並列}}=P\{1-(1-P^2{)}^2\}$。

選択肢別の誤答解説

• ア: $1-(1-P)(1-P^2{)}^2$
  左端$P$を失敗事象側で扱い、全体を「少なくとも1つ稼働」と誤解している式です。左端が直列で必須のため$P$を掛ける形で表すのが正しく、1−(...)の形は不適切です。
• イ: $P\{1-(1-P{)}^4\}$
  右側の4つの$P$を全て並列で扱った場合の式です。しかし実際は各枝内で直列になっており、個々は$P^2$の信頼度を持つため不正解です。
• ウ: $P\{1-(1-P{)}^2{\}}^2$
  $1-(1-P{)}^2$は“2つの$P$の並列”の信頼度です。これを二乗しているため、左右の並列群をさらに直列接続とみなしてしまった誤りで、図の意味と合いません。
• エ: $P\{1-(1-P^2{)}^2\}$
  各枝が直列で$P^2$、その2系統が並列で合成され、左端と直列接続される正しい表現です。

補足コラム

• 失敗確率で考えると分かりやすいです。左端が失敗する確率は $1-P$、上下両方の枝がともに失敗する確率は $(1-P^2{)}^2$。全体が失敗するのは左端が失敗するか、左端が稼働していて上下とも失敗する場合で、整理すると元の式に一致します。
• 実務では部品間の独立性が仮定できない場合もあり、その場合は共通故障や相関を考慮する必要があります。試験問題では独立を前提とした計算が基本です。
• 例：$P=0.9$ のとき全体稼働率は $0.9\{1-(1-0.81{)}^2\}=0.9\{1-(0.19{)}^2\}=0.9(1-0.0361)=0.9\times 0.9639=0.86751$。

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