基本情報技術者 2012年 秋期 午前（科目A） 問76

利益の期待値が最大になる仕入個数は何個か【午前2 解説】

要点まとめ

• 結論：仕入個数は6個。各仕入量ごとの期待利益を計算すると、仕入6個で期待利益4,830円となり最も高くなります。
• 根拠：1個当たり販売利益1000円、売れ残りは−300円なので、1ケースの利益は$s=販売数$で$1300s-300q$となり期待値は$1300E[s]-300q$で評価します。
• 差がつくポイント：増やしたときの増分期待利益（限界期待利益）を計算し、正であれば仕入を増やす、負であればやめる判断が短時間で正解を導きます。

正解の理由

• $q=4$：$E[s]=4$ → $1300\times 4-300\times 4=4,000$円
• $q=5$：$E[s]=4.7$ → $1300\times 4.7-300\times 5=4,610$円
• $q=6$：$E[s]=5.1$ → $1300\times 5.1-300\times 6=4,830$円（最大）
• $q=7$：$E[s]=5.2$ → $1300\times 5.2-300\times 7=4,660$円

よくある誤解

• 「売れる個数の最大値で決める」：最大販売数（7個）が最適とは限らず、売れ残りコストを考慮した期待値で比較する必要があります。
• 「売れ残りコストを無視する」：売れ残りの−300円を考慮しないと仕入過多になり誤答になります。
• 「全パターンの利益を個別に計算しない」：期待値は確率を重みとした平均なので、各販売数に対する利益×確率の合計を必ず行ってください。

解法ステップ

1. 1個あたりの売れたときの貢献と売れ残りの損益を確認する（売れたとき +1000円、売れ残り −300円）。
2. 一般式を導く：仕入$q$, 販売数$s$で利益は$1300s-300q$。
3. 表から各$q$ごとの期待販売数$E[s]$を計算する（確率×販売数の和）。
4. $E[\text{利益}]=1300E[s]-300q$を各$q$に代入して期待利益を求める。
5. 期待利益が最大となる$q$を答える（または限界期待利益で比較して止める）。

選択肢別の誤答解説

• ア: 4
  • $E[s]=4$ → 期待利益 $1300\times 4-300\times 4=4,000$円。最小であり不正解。
• イ: 5
  • $E[s]=4.7$ → 期待利益 $1300\times 4.7-300\times 5=4,610$円。ウより小さい。
• ウ: 6
  • $E[s]=5.1$ → 期待利益 $1300\times 5.1-300\times 6=4,830$円。今回の最大値で正解。
• エ: 7
  • $E[s]=5.2$ → 期待利益 $1300\times 5.2-300\times 7=4,660$円。7個に増やすと売れ残りコストが効いて期待値が低下するため不正解。

補足コラム

probs = {
  4: {4:1.0},
  5: {4:0.3,5:0.7},
  6: {4:0.3,5:0.3,6:0.4},
  7: {4:0.3,5:0.3,6:0.3,7:0.1},
}
for q,dist in probs.items():
    Es = sum(s*p for s,p in dist.items())
    expected_profit = 1300*Es - 300*q
    print(q, Es, expected_profit)

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