基本情報技術者 2013年 秋期 午前（科目A） 問25

論理式 $x=\overline{A}\cdot B+A\cdot \overline{B}+\overline{A}\cdot \overline{B}$ と同じ結果が得られる論理回路はどれか。【午前2 解説】

要点まとめ

• 結論→ 与えられた論理式は代数的に $x=\overline{A}+\overline{B}=\overline{A\cdot B}$ に簡約されるため、出力は NAND に等しく、選択肢 イ が正解です。
• 根拠→ $\overline{A}B+A\overline{B}+\overline{A}\overline{B}=\overline{A}(B+\overline{B})+A\overline{B}=\overline{A}+A\overline{B}=(\overline{A}+A)(\overline{A}+\overline{B})=\overline{A}+\overline{B}$ と導けます。
• 差がつくポイント→ $\overline{A}B+A\overline{B}$ を XOR と誤認しやすいが、項 $\overline{A}\overline{B}$ の存在で最終的に De Morgan により NAND（$\overline{A\cdot B}$）になる点を確認してください。

正解の理由

よくある誤解

• 誤解1: $\overline{A}B+A\overline{B}$ を見て XOR（排他的論理和）だと即断する。実際はさらに $\overline{A}\overline{B}$ が加わっており、全体は XOR ではありません。
• 誤解2: ブロック図の円（バブル）を「入力の否定」や「別の意味」と誤認する。多くの図では出力側のバブルは出力の否定（NOT）を示し、AND+バブルは NAND です。
• 誤解3: 簡約を途中で止めて $\overline{A}+A\overline{B}$ のまま評価してしまい、さらに $(\overline{A}+A)(\overline{A}+\overline{B})$ に展開する手順を省略するミス。

解法ステップ

1. 与式を書き出す： $x=\overline{A}B+A\overline{B}+\overline{A}\overline{B}$.
2. $\overline{A}$ で括る： $\overline{A}(B+\overline{B})+A\overline{B}$.
3. 恒等式 $B+\overline{B}=1$ を使う： $\overline{A}\cdot 1+A\overline{B}=\overline{A}+A\overline{B}$.
4. 分配・吸収を使う： $\overline{A}+A\overline{B}=(\overline{A}+A)(\overline{A}+\overline{B})=\overline{A}+\overline{B}$.
5. De Morgan で表現を変える： $\overline{A}+\overline{B}=\overline{A\cdot B}$。ゲートは NAND。

選択肢別の誤答解説

• ア: 直方形ブロックにバブルがないため AND（$A\cdot B$）と解釈される。$A\cdot B$ は与式や $\overline{A}+\overline{B}$ と一致しない。
• イ: AND の出力にバブル（否定）が付いているため NAND（$\overline{A\cdot B}$）。与式を簡約した結果と一致するため正解。
• ウ: 丸みを帯びた曲線状のゲートは OR（$A+B$）を示す。$A+B$ は与式と等価ではない。
• エ: OR の出力にバブルが付いたものは NOR（$\overline{A+B}$）であり、与式（$\overline{A\cdot B}$）とは異なる。

補足コラム

FAQ