基本情報技術者 2014年秋期午前（科目A）問14

問題文

東京～大阪及び東京～名古屋がそれぞれ独立した通信回線で接続されている。東京～大阪の稼働率は0.9、東京～名古屋の稼働率は0.8である。東京～大阪の稼働率を0.95以上に改善するために、大阪～名古屋にバックアップ回線を新設することを計画している。新設される回線の稼働率は、最低限いくら必要か。

選択肢

ア：0.167

イ：0.205

ウ：0.559

エ：0.625（正解）

東京—大阪間の稼働率改善のためのバックアップ回線設計【午前2 解説】

要点まとめ

結論：大阪〜名古屋間に新設するバックアップ回線の最低稼働率は $0.625$ 、選択肢はエが正解で東京〜大阪の稼働率を0.95以上にできます。
根拠：直接回線の稼働率0.9、代替経路は東京→名古屋(0.8)と名古屋→大阪( $x$ )の直列で成功確率は $0.8 x$ 、全体は $0.9 + 0.8 x - 0.9 \cdot 0.8 x = 0.9 + 0.08 x$ となるため。
差がつくポイント：代替経路は「両方稼働」が必要な直列系であり独立性を仮定、和集合の重複（共通事象の減算）を忘れると誤答になります。

正解の理由

東京→大阪間が接続されるのは「直接回線が稼働する」または「東京→名古屋と名古屋→大阪の両方が稼働している」場合です。
確率を

A

（直接=0.9）、

B

（東京→名古屋=0.8）、

C

（名古屋→大阪=

x

）とし、独立と仮定すると

P (A \cup (B \cap C)) = P (A) + P (B \cap C) - P (A \cap B \cap C) = 0.9 + 0.8 x - 0.9 \cdot 0.8 x = 0.9 + 0.08 x

。これを目標値0.95以上にするには

0.9 + 0.08 x \geq 0.95

より

x \geq \frac{0.05}{0.08} = 0.625

したがって必要最低稼働率は

0.625

、選択肢はエが正解です。

よくある誤解

「代替経路はどちらか一方が生きていればよい」と誤認すること：ここでは東京→名古屋と名古屋→大阪の両方が稼働して初めて代替経路が成立します（直列）。
「確率を単純に足す」ことで二重計上をしてしまうこと： $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ として交差部分を引かないミスが典型です。
「独立性を無条件で使う」こと：実務では故障の共通原因（停電など）により独立でない場合がある点に注意が必要です。

解法ステップ

事象を定義する：直接回線 $A = 0.9$ 、東京→名古屋 $B = 0.8$ 、名古屋→大阪 $C = x$ 。
システム成功事象を表す： $A$ が稼働するか、 $B$ と $C$ の両方が稼働するか。
独立を仮定して和集合の確率を計算： $P (A \cup (B \cap C)) = P (A) + P (B \cap C) - P (A \cap B \cap C)$ 。
代入して簡約： $0.9 + 0.8 x - 0.72 x = 0.9 + 0.08 x$ 。
目標不等式 $0.9 + 0.08 x \geq 0.95$ を解いて $x \geq 0.625$ を得る。

選択肢別の誤答解説

ア: 0.167 — この値を採ると実現される東京〜大阪の稼働率は $0.9 + 0.08 \times 0.167 \approx 0.9134$ で目標0.95に届きません。誤りはモデル化（直列／並列の扱い）か和集合の扱い忘れによるものです。
イ: 0.205 — この稼働率でも全体は $0.9 + 0.08 \times 0.205 \approx 0.9164$ にしかならず不足です。計算過程で $0.08$ の係数を見落とした可能性があります。
ウ: 0.559 — 全体は $0.9 + 0.08 \times 0.559 \approx 0.9447$ でわずかに不足します。目標との差（0.0053程度）を見落として切り捨てるミスがあり得ます。
エ: 0.625 — 全体は $0.9 + 0.08 \times 0.625 = 0.95$ となり、最小限必要な値を満たします（正解）。

補足コラム

一般化した式：直接回線の稼働率を $p_{d}$ 、東京→名古屋を $p_{t}$ 、名古屋→大阪を $x$ とすると全体は $R = p_{d} + (1 - p_{d}) p_{t} x$ よって目標 $R_{t a r g e t}$ を満たす最小 $x$ は $x \geq \frac{R _{t a r g e t} - p _{d}}{( 1 - p _{d} ) p _{t}}$ です。本問では $p_{d} = 0.9, p_{t} = 0.8, R_{t a r g e t} = 0.95$ で $x \geq 0.625$ になります。
実務上は独立性や共通故障点（電源、設備室、運用者ミスなど）を調査し、必要であればさらに冗長化や多経路化を検討します。

FAQ

Q1: 「独立性が成り立たないと結果はどうなるか？」
A1: 故障が相関する場合、単純積で計算できず必要な

x

は通常より大きくなります。実測やFMEAで相関を評価してください。

Q2: 「目標を超える余裕を持たせたい場合は？」
A2: 必要な安全マージンを加えて

R_{t a r g e t}

を例えば0.97に設定し、同様の式で

x

を再計算します。

Q3: 「逆に名古屋→大阪が既に存在する場合は？」
A3: 既存回線の稼働率を

x

として上と同じ式に代入し、目標達成の可否を判定します。

関連キーワード: 稼働率, 可用性, 冗長化, 回線冗長, 信頼性工学, 系列・並列回路, ネットワーク設計, 高可用性

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