基本情報技術者 2014年 春期 午前（科目A） 問22

同値判定回路【午前解説】

正解の理由

• X=0,Y=0 → Z=1
• X=1,Y=1 → Z=1
• X≠Y → Z=0

解法ステップ

1. まず「出力が1になる条件（XとYが等しい）」を心に留める（目標：XNOR）。
2. 図の各ゲートについて、形（AND/OR）とバブル（入力側／出力側）を正確に判定する。
3. 上段・下段・最終出力のブロックごとに論理式を立て、合成して最終式を得る。
4. 得られた式を真理値表で検算して、求める条件（X=Y→Z=1）に合致するか確認する。

選択肢別の誤答解説

• ア: 上段が単なる AND、下段の構成（説明の通りだと）では実質的に $X\wedge Y$ と $\overline{Y}$ を OR したような出力になり、X=Y のときだけ 1 とはならない。具体的には出力は $\overline{Y}\vee (X\wedge Y)$ に相当し、Y=0 で常に1になるなど期待する同値動作と異なる。
• イ: 図では上段が OR、下段も OR 相当で、最終も OR なので多くの場合出力がほぼ常に 1（冗長な OR）になる。XNOR のように「等しいときだけ1」にはならない。
• ウ: 正解。上段が NAND、下段が NAND(入力は反転されているため結果は $X\vee Y$)、最終が NAND になり、合成すると XNOR になる。真理値で確認済み。
• エ: 上段・下段ともに出力バブル付き（NOR 相当）で最終もバブル付き OR（NOR）の組合せは XNOR にはならず、むしろ否定付きの OR/NOR の組合せで別の論理（例えば XNOR の否定や他の複合）になるため不適。

よくある誤解

• 「バブル＝入力否定だ」とだけ覚えて出力側か入力側かを見落とす。入力側のインバータと出力側のバブルは意味が異なるので注意。
• 図のゲート形状（扁平＝AND、曲線＝OR）だけで判断してバブルの有無を無視すると誤答する。
• XNOR を知らなくても、真理値のパターン（同じとき 1）を見落とし、XOR や単純 OR/NAND と混同する。

補足コラム

• XNOR（同値）は論理式で $X\odot Y$（しばしばバー付き＝否定付き XOR）と表され、等価式として $X\text{XNOR}Y=(X\wedge Y)\vee (\overline{X}\wedge \overline{Y})$ が成り立ちます。
• ハードウェア実装では NAND のみで組むとゲート数を削減できることが多く、今回のウのように NAND を含む組合せで簡潔に実現できます。
• 図から素早く識別するコツは「出力が1になる条件」を先に口に出してから、各ブロックを対応させることです。

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