基本情報技術者 2014年春期午前（科目A）問77

問題文

図は、製品の製造上のある要因の値

x

と品質特性の値

y

との関係をプロットしたものである。この図から読み取れることはどれか。

🖊️ 解答を隠して解いてみる

選択肢

ア：

x

から

y

を推定するためには、2次回帰係数の計算が必要である。

イ：

x

から

y

を推定するための回帰式は、

y

から

x

を推定する回帰式と同じである。

ウ：

x

と

y

の相関係数は正である。

エ：

x

と

y

の相関係数は負である。（正解）

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負の相関関係【午前解説】

正解の理由

正解はエです。
散布図を見ると点群が左上から右下へ並んでおり，

x

の増加に伴って

y

が減少する傾向があるため，変数間の共分散が負になり，その結果として相関係数（ピアソンの

r

）も負の値になります。視覚的に負の傾きが明確であるため「相関係数は負である」が妥当です。

解法ステップ

散布図の全体的な傾向を見る（左上→右下なら負の傾き）。
傾向が線形に近いか非線形かを判定する（今回はほぼ線形の雲）。
傾きの符号から共分散の符号を判断し，相関係数の符号（同じ符号）を決定する。
選択肢と照合して「相関係数が負」である選択肢を選ぶ。

選択肢別の誤答解説

ア: $x$ から $y$ を推定するためには、2次回帰係数の計算が必要である。
→ 誤り。図は一次的（線形）の負の傾向を示しており，二次回帰が必須とはいえません。非線形の兆候があれば二次を検討しますが，本図は不要です。
イ: $x$ から $y$ を推定するための回帰式は、 $y$ から $x$ を推定する回帰式と同じである。
→ 誤り。最小二乗法で最小化する距離の方向が異なるため，通常は回帰係数が異なります。完全相関（|r|=1）の場合のみ両者は一致します。
ウ: $x$ と $y$ の相関係数は正である。
→ 誤り。点群は右へ行くほど $y$ が小さくなる傾向（負の傾き）を示しており，正とは逆です。
エ: $x$ と $y$ の相関係数は負である。
→ 正解。散布図の向き（左上→右下）が負の相関を示します。

よくある誤解

散布図の向きと回帰直線の向きを混同して「回帰式は二次や複雑な計算が必要」と判断する誤り。単純な線形傾向なら一次で十分です。
「回帰式は入れ替えても同じ」と誤解する受験者が多いが，通常は縦最小二乗（ $y$ を $x$ で回帰）と横最小二乗（ $x$ を $y$ で回帰）は異なります。
相関が負＝因果が逆と断定する誤り。相関は関連の強さと方向を示すのみで因果関係は別検討です。

補足コラム

ピアソンの相関係数

r

は次で定義されます：

r = \frac{cov ( x , y )}{s _{x} s _{y}}

ここで

cov (x, y) = E [(x - μ_{x}) (y - μ_{y})]

は共分散，

s_{x}, s_{y}

は標準偏差です。共分散の符号が相関の符号を決め，散布図の傾向（点群の向き）で符号を視覚的に判断できます。なお，回帰直線は目的変数の誤差（垂直方向）を最小化するため，

y

を

x

で回帰した直線と逆の回帰直線は一般に一致しません。両者を同時に扱う場合は「主成分回帰」や「全最小二乗法（直交回帰）」を用います。

FAQ

Q1: 散布図だけで相関の強さはどの程度判断できますか？
A1: 傾向の有無は判別できますが，強さ（例えば$r= -0.8か-0.4か）は数値計算が必要です。視覚的には点群が細長ければ強い相関、丸ければ弱い相関です。

Q2: 外れ値があると相関係数はどう影響しますか？
A2: 外れ値は相関係数（平均・分散に依存する統計量）を大きく歪める可能性があるため，散布図で外れ値の有無を確認し，必要なら別扱いにします。

Q3: 散布図で負の相関と判断した場合でも因果を示せますか？
A3: いいえ。相関は「関連」を示すだけで，因果関係の特定には実験や追加の解析が必要です。

関連キーワード: 相関係数、散布図、負の相関、回帰直線、共分散、最小二乗法、直交回帰

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