基本情報技術者 2016年 春期 午前（科目A） 問14

冗長系の可用性計算【午前解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 問題の条件を整理：サーバは単体必須、クライアントは3台中1台以上、プリンタは2台中1台以上でよい。
2. 各装置の台単位稼働率を確認：サーバ $a$, クライアント各台 $b$, プリンタ各台 $c$。LAN は 1（無視可）。
3. 「少なくとも1台稼働」の確率を補集合で求める：クライアント群 = $1-(1-b{)}^3$、プリンタ群 = $1-(1-c{)}^2$.
4. 全体は独立と仮定して積を取る：$a(1-(1-b{)}^3\left)\right(1-(1-c{)}^2)$。
5. 選択肢と照合して エ を選ぶ。

選択肢別の誤答解説

• ア: $a{b}^3{c}^2$
  サーバとクライアント3台全て、プリンタ2台全てが稼働する確率。条件は「少なくとも1台」であり「全台稼働」を要求していないため誤り。
• イ: $a(1-b^3)(1-c^2)$
  $1-b^3$ は「クライアント全台が稼働しない確率」ではない（実際は「全台稼働でない確率」）ため、目的の「少なくとも1台稼働」を正しく表さない。構造的に誤った補集合の扱い。
• ウ: $a(1-b{)}^3(1-c{)}^2$
  $(1-b{)}^3$ と $(1-c{)}^2$ はそれぞれクライアント全台停止、プリンタ全台停止の確率であり、これを掛けると「サーバ稼働かつ両群とも全停止」の確率になってしまう。目的とは逆。
• エ: $a(1-(1-b{)}^3)(1-(1-c{)}^2)$
  各群の「少なくとも1台稼働」を補集合で正しく表現しており、独立性の下で積を取ると全体稼働率として正しい。

よくある誤解

• 「各群とも全台が稼働する必要がある」と誤解して $a{b}^3{c}^2$ を選ぶミス。問題文は「1台でも稼働すればよい」と明記されている点を見落とす。
• 補集合の扱いを逆にして $(1-b{)}^3$ や $(1-c{)}^2$ をそのまま群の稼働率と誤認し、ウのような式を選ぶミス。
• $1-b^3$ や $1-c^2$ を「少なくとも1台稼働」の式だと誤って用いると、イのように全台稼働と混同する結果になる。

補足コラム

• 一般化：m 台中少なくとも 1 台が稼働でよい場合、その群の可用性は $1-(1-p{)}^m$（各台稼働率 $p$）と表せます。冗長構成の基本公式です。
• 直列と並列：本問はサーバが直列（必須）で、クライアント群・プリンタ群が並列（並列冗長）になっています。直列は確率の積、並列は補集合を使うのが基本パターンです。
• 前提の確認：独立性の仮定が成り立たない（故障が連鎖する）場合はこの単純乗算は使えません。実務では故障モードや共通障害を検討します。

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