基本情報技術者 2019年秋期午前（科目A）問54

問題文

10人のメンバで構成されているプロジェクトチームにメンバ2人を増員する。次この条件でメンバ同士が打合せを行う場合、打合せの回数は何回増えるか。　〔条件〕　・打合せは1対1で行う。　・各メンバが、他の全てのメンバと1回ずつ打合せを行う。

選択肢

ア：12

イ：21（正解）

ウ：22

エ：42

10人のメンバに2人増員したときの打合せ回数の増加は何回か【午前2 解説】

要点まとめ

結論→増加数は21回。10人での総打合せ45回が12人では66回になり、差は21回です。
根拠→1対1の打合せ回数は組合せ $C (n, 2) = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ で求まり、 $C (12, 2) - C (10, 2) = 66 - 45$ だからです。
差がつくポイント→新メンバの打合せは「既存全員との接触＋新メンバ同士の接触」で数えると数え落としや二重計上を防げます。

正解の理由

1対1の打合せ回数は順序を考えない組合せの数です。人数

n

に対して

C (n, 2) = \frac{n ( n - 1 )}{2}

が成立します。
初めは

n = 10

で

C (10, 2) = 45

回、増員後は

n = 12

で

C (12, 2) = 66

回。差は

66 - 45 = 21

回です。したがって正解はイの21回です。

よくある誤解

「新メンバ同士の打合せを数え忘れる」：新たに2人加わった場合、既存全員との打合せだけでなく新同士の1回も加わります。
「打合せを順序付きで考えて倍にする（順列と混同）」：1対1は順序に意味がないため $2 \times$ などの処理は不要です。
「新メンバが会う人数を間違えて計算する」：各新メンバは既存の10人全員と会い、さらに相互に1回会う点を忘れやすいです。

解法ステップ

1対1打合せの総数は $C (n, 2) = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ と定義する。
元の人数10人での回数を求める： $C (10, 2) = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ 。
増員後の人数12人での回数を求める： $C (12, 2) = \frac{12 \times 11}{2} = 66$ 。
差を取る： $66 - 45 = 21$ 。別解として「新メンバが既存と会う回数 $2 \times 10$ ＋新同士の1回 = $20 + 1 = 21$ 」でも同じです。

選択肢別の誤答解説

ア: 12 — 明らかに過小評価です。たとえば「各新メンバが6人としか会わない」といった誤った仮定から生じる数です。新メンバは既存の10人全員と会います。
イ: 21 — 正解。 $C (12, 2) - C (10, 2) = 66 - 45 = 21$ 、または $2 \times 10 + 1 = 21$ と直感的にも確認できます。
ウ: 22 — 新メンバ同士の打合せを二重に数えたケースで出やすい誤りです（各新メンバが「11人」と会うとし $2 \times 11 = 22$ としてしまう）。
エ: 42 — 元の45回より小さいため論理的に誤りです。総数と増加分を混同するか、計算ミスで出た値である可能性が高いです。

補足コラム

増員を一般化すると、元の人数を

n

、増員数を

k

としたときの増加分は

C (n + k, 2) - C (n, 2) = kn + C (k, 2)

となります。特に

k = 2

の場合は増加分が

2 n + 1

であるため、今回の

n = 10

では

2 \times 10 + 1 = 21

と簡単に暗算できます。試験ではこのような増分公式を覚えておくと速く解けます。

FAQ

Q. なぜ順序（AがBと会うとBがAと会う）は区別しないのですか？
A. 問題は「打合せは1対1で行う」「各メンバが他の全てのメンバと1回ずつ打合せを行う」とあり、A–B と B–A は同じ1回の打合せを指します。よって組合せを用います。

Q. 増員が1人の場合はどうなる？
A. 増加分は

n

回です。新しい1人は既存の

n

人それぞれと1回会うため、増加は

n

（

C (n + 1, 2) - C (n, 2) = n

）。

Q. 打合せが「方向性あり（片方向のみ）」なら？
A. その場合は順序を区別するため増加分は上記の2倍になります。つまり元の式に2を掛けます。

関連キーワード: 組合せ、組合せ数、C(n,2)、二項係数、増員による増分、打合せ回数、組合せ公式、暗算テクニック、組合せ誤り対策

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