基本情報技術者 2019年 春期 午前（科目A） 問14

システム稼働率の組合せ計算【午前解説】

正解の理由

1. サーバが稼働している（確率 $a$）。
2. 3台のクライアントのうち少なくとも1台が稼働している。各クライアントの稼働率を $b$ とすると、全て停止する確率は $(1-b{)}^3$ であり、少なくとも1台稼働の確率は $1-(1-b{)}^3$。
3. 2台のプリンタのうち少なくとも1台が稼働している。全て停止する確率は $(1-c{)}^2$ であり、少なくとも1台稼働の確率は $1-(1-c{)}^2$。
   これらが独立であるならば総合確率は積で表され、 $P=a(1-(1-b{)}^3\left)\right(1-(1-c{)}^2)$ となり、選択肢の エ が正解です。

解法ステップ

1. 必要条件を列挙：サーバ稼働、クライアント群で少なくとも1台、プリンタ群で少なくとも1台。
2. 各群の「少なくとも1台」の確率を補集合で表す：クライアントは $1-(1-b{)}^3$、プリンタは $1-(1-c{)}^2$。
3. 独立事象の積：サーバ $a$ と上の2つを掛け合わせて最終式を得る。
4. 式を確認して選択肢と突き合わせ、エ を選ぶ。

選択肢別の誤答解説

• ア: $a{b}^3{c}^2$
  これは「サーバと3台のクライアント全てと2台のプリンタ全てが稼働する」場合の確率で、問いの「どれか1台が稼働していればよい」と矛盾します。過度に厳しい条件です。
• イ: $a(1-b^3)(1-c^2)$
  ここで $b^3,c^2$ は「全台稼働」の確率なので、その補集合 $1-b^3$ は「少なくとも1台稼働」の確率ではありません。正しくは各台の停止確率の累乗を使う必要があります。
• ウ: $a(1-b{)}^3(1-c{)}^2$
  これはクライアント全滅かつプリンタ全滅の確率にサーバ稼働を掛けた形で、要件とは逆（装置群がすべて停止している場合）になっています。
• エ: $a(1-(1-b{)}^3)(1-(1-c{)}^2)$
  サーバ稼働かつ各群で「少なくとも1台稼働」を正しく表しており、独立なら積になるため正解です。

よくある誤解

• 「どれか1台が稼働」は「すべて稼働」と混同し、$b^3$ や $c^2$ を使ってしまう誤り。問題文は「少なくとも1台」です。
• 補集合の使い方を誤り、$1-b^3$ のように $b^3$（全て稼働）の補を取ってしまうミス。正しくは $1-(1-b{)}^3$（全て停止の補）。
• LAN の稼働率を無視していいか迷うが、表で LAN が 1（常に稼働）となっているため影響しません。LAN が1でない場合はその係数も掛ける必要があります。

補足コラム

• 直列系：全ての要素が稼働して初めてシステム稼働（確率は積）。
• 並列系（k-out-of-n）：n 個のうち k 個以上が稼働すればよい。今回の「少なくとも1台」は k=1 のケースで、確率は $1-(1-p{)}^n$。
  実務では独立性が成り立たない場合や、LANなどの共有部品が故障影響を与える場合もあるため、モデル化は注意が必要です。

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