ITストラテジスト 2011年 午前2 問22

線形計画の最大化【午前2解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 変数設定：$x$ = 製品Xの個数、$y$ = 製品Yの個数。
2. 制約式の設定：
   • 原料A: $2x+y\le 100$
   • 原料B: $x+2y\le 80$
   • 非負条件: $x\ge 0,y\ge 0$
3. 可行領域の頂点候補を求める（交点および各軸との交点）：
   • $(0,0)$
   • $2x+y=100$ かつ $y=0$ より $(x,y)=(50,0)$
   • $x+2y=80$ かつ $x=0$ より $(0,40)$
   • 2つの制約の交点：連立方程式を解く $$\{\begin{array}{l}2x+y=100\\ x+2y=80\end{array}$$ 2式目を2倍して引くと $3y=60$ より $y=20$、よって $x=(100-y)/2=40$。交点は $(40,20)$。
4. 各頂点で目的関数を評価：
   • $(0,0)$：$P=0$
   • $(50,0)$：$P=100\times 50+150\times 0=5000$
   • $(0,40)$：$P=100\times 0+150\times 40=6000$
   • $(40,20)$：$P=100\times 40+150\times 20=7000$
5. 最大値は $7000$ 円（頂点 $(40,20)$）なので、答えは ウ。

選択肢別の誤答解説

• ア: 5000
  原因：原料Aの制約だけを考え、$y=0$ として $2x=100\Rightarrow x=50$ を採ると得られる利益です。原料Bの制約を無視しているため誤りです。
• イ: 6000
  原因：原料Bがボトルネックで $x=0,2y=80\Rightarrow y=40$ を採った場合の利益です。AとBの両方を同時に使う交点の評価を見落としたケースです。
• ウ: 7000（正解）
  原料A・Bの両方が拘束となる交点 $(40,20)$ を採ることで得られる最大利益です。
• エ: 8000
  原因：制約を超えた仮定（例えば $x$ と $y$ の両方を大きく取る誤り）や計算ミスによる数値です。提示された資源量の範囲内では到達不可能です。

よくある誤解

• 交点の連立方程式の解法で計算ミスをする（3y=60→y=20 のような簡単な算術ミス）。
• 目的関数の係数が大きい方の製品だけを増やせば良いと考え、すべての制約を確認しない。
• 内部の点（可行領域の頂点でない点）を最適と誤認する。線形計画では頂点で最適が現れます。

補足コラム

• グラフ法：2変数の線形計画は平面上に制約直線を描き、可行領域の頂点を視覚的に確認すると理解が早いです。各直線の交点を計算すれば確実です。
• 一般論：線形計画の最適解は必ず可行領域の極点（頂点）にあるため、頂点列挙と評価で解けます。変数が多いときは単体法（シンプレックス法）を使います。
• 影響度（影子価格）：もし原料AやBの調達量が変われば、最適解や利益がどのように変わるかを調べるのが感度分析です。本問では資源を少し増やすと交点の位置が変わり、利益が増える可能性があります。

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